人間風車

2002/06/14(金)
【数学好きかどうか】

地球の赤道をぐるりとロープで一周する。
このロープの長さは、地球の円周と同じ長さになる。
さて、このロープを1mだけ長くして再び赤道に巻くと、
このロープは、地上から何メートル浮くだろうか?
(ぴったりと赤道に巻き付いていたロープなので、
1mでも長くすれば少しは巻きつきが緩くなって、
少し浮くのは、直感的におわかりいただけると思う)
えっと、これは中学生(ひょっとしたら小学生)
レベルで簡単に計算することができて、
約16cmになる。
地球をぐるりと巻くとんでもない長さのロープを
たった1m長くしただけで、
16cmも浮いてしまうなんて驚きだ。
では、地球の直径のちょうど100万分の1の
直径のボールがあったとしよう。
このボールに、地球に巻いたのと同じ条件でロープをまく。
そして、同じようにこのロープを1m長くすると、
このロープはボールの表面から何センチ浮くだろうか。
(以上は「16歳のセアラが挑んだ世界最強の暗号」
NHK出版 に書いてあったネタです)
答えは一番下に書きましたが、
この答えにしびれてしまうかどうかが、
数学好きになれるかどうかの分かれ目じゃないでしょーかね。
マジシャンのナポレオンズがよくやるような、
誕生日当てマジックってのは、
だいたい同じ原理を使ってますね。



【答え】
約16cm
求める隙間の幅をx、ボールの半径をrとすると、
ちょうどボールに巻き付いたロープの長さは、2πr。
よって、1m長くしたロープの長さは、
2πr+100 (100は1mの意味)
一方、xだけ浮いたロープの長さは、
半径(ボールの半径r+x)の円周と同じ長さということだから、
1m長くしたロープの長さは、2π(r+x)ともかける。
よって、
1m長くしたロープの長さ=2π(r+x)=2πr+100
つまり2πx=100で、xは100/2π(約16cm)となる。
これは何を意味しているかというと、
どんな大きさの球であろうと、その赤道を巻くロープを1m長くすると、
球の大きさにかかわらず、100/2π(約16cm)浮くということだ。
すごくない?

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